[Expyezp] fractal self-similarities

José Manuel Berenguer Alarcón jmbeal at telefonica.net
Wed Mar 10 10:34:12 PST 2010


Hola,

Me gustaría confiar algunas reflexiones acerca de este tema, porque me  
interesa muchísimo.

Antes de ello, quisiera preguntar brevemente a José Ignacio acerca de  
lo que quiere decir al aplicar la estocástica como arte final. No sé  
si lo entiendo bien.

Y continuando con esas reflexiones a las que aludía al respecto  del  
primer envío de Juan, quisiera intentar traducirlo al Español. Creo  
que el texto trata de expresar ideas, pero no lo consigue demasiado  
bien. Mezcla cosas, desde mi punto de vista. De dónde salió el texto,  
Juan? Puede que yo no conozca suficiente el Inglés, desde luego ; pero  
mi impresión general es que las frases no tienen mucho sentido desde  
los puntos de vista semántico, sintáctico y gramatical. Ahí va una  
primera traducción

"Otra cosa que pudiera ser interesante es la exploración de la  
intersección entre autosimilaridades fractales y el ritmo y la  
melodía. ¿Es la música y lo que en la naturaleza suena como música  
fractal parecido a cuando vemos algo e identificamos instantáneamente  
como una montaña o un arbol o la costa, a causa de su naturaleza  
fractal? ¿Apreciamos cuando la música es más fractal, en oposición a  
una especie de patron infinito entramado, o sólo un potpurri aleatorio  
de sonidos encadenados sin ningún propósito?"

Quisiera que se entendiera bien mi mensaje. No es ningún ataque a  
nadie. Y aún mucho menos, a tí, Juan, a quién agradezco profundamente  
el buenísimo trabajo que en todos los aspectos llevas a término. Aquí  
y fuera de aquí. Pero en lo que creo faltas de precisión de ese texto  
se me ocurren cosas jocosas que me sirven para compartir mis  
reflexiones acerca de la supuesta fractalidad de la música.

Para empezar, el conjunto de las autosimilaridades fractales (tambien  
homotecia o sibisilimilaridad se llaman en matemática) no tienen  
ninguna intersección con el conjunto de las melodias/ritmos. Son como  
los conjuntos de las zanahorias y el de los conejos/perros. Nada que  
ver y ninguna intersección entre uno y otro conjunto. En matemáticas,  
el empleo de términos con significados que están más  allá de su  
significado establecido por convención, se acostumbra a llamar abuso  
de lenguaje. Si entiendo bien el significado general de esa primera  
frase, trata de decir que deberíamos explorar lo que de  
autosimilaridad fractal hay en el ritmo y en la melodía. Quizá haya  
alguna autosimilaridad en las melodías y en los ritmos, pero no es  
fractal. Para que un conjunto sea fractal, según Benoit Mandelbrot, el  
creador del concepto, debe ser homotécico y su dimensión, un número  
fraccionario. A su vez, para que la dimensión de un conjunto de puntos  
sea fraccionaria o distinta de 0 o -1, el número de elementos del  
conjunto es infinito (para más aclaraciones a este respecto, quizá sea  
bueno ver esto, por ejemplo : http://www.arrakis.es/~sysifus/dimens.html) 
  .

Así, la dimensión de una melodía o un ritmo que, por ser cosas de este  
mundo finito, tienen un número finito de elementos, es 0. No es fractal.

La homotecia que Mandelbrot veía tan interesante en los fractales que  
él estudiaba es de naturaleza distinta de la que se encuentra en las  
melodías/ritmos convencionales, como por ejemplo, las de Bach, que  
menciono por ser un músico cuyo trabajo melódico-rítmico me parece  
particularmente homotécico. Me parece a mi que en el Barroco y en el  
Renacimiento hay muchos más ejemplos de ese trabajo que en otras  
épocas. Sí, por supuesto que la música serial también. Pero duró bien  
poco, a pesar de que el pobre Schönberg hubiera querido dar a  
Alemania, con el dodecafonismo, la supremacía musical por más de cien  
años...

Para dejar clara la cuestión de la homotecia en los fractales hay  
muchos ejemplos. Las curvas de Sierpinsky, Peano, etc, pero el famoso  
conjunto llamado Polvo de Cantor, la muestra quizá aún más fácilmente  
y tiene que ver con su definición recursiva : se toma una recta, se  
divide en tres segmentos iguales y se le retira el segmento central.  
Con cada segmento resultante, se lleva a cabo la misma operación. En  
el infinito está el Polvo de Cantor. Está claro que, en la estructura  
de ese conjunto que no podemos ver más que en el interior de nuestra  
mente, queda cada uno de los pasos : la linea inicial, las dos  
siguientes, las cuatro siguientes, las 2 ^ n siguientes etc... el  
Polvo de cantor es el de las 2 ^ infinito siguientes... Es decir, c o  
aleph(1) o 2 ^ aleph(0) , por emplear la denominación de los  
transfinitos de Cantor. Por cierto, una cosa curiosa de los  
infinitos : según lo que acabo de decir, el Polvo de Cantor, que se  
obtiene quitando la tercera parte de los puntos de una recta a cada  
iteración, contiene el mismo número de puntos que la recta de la que  
se partió para construirlo. No sé si es por eso que le llaman la curva  
del Diablo.

______________     	2^0
_____         _____ 	2^1
__  __         __   __	2^2
					2^n ....
En http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Cantor está mucho mejor  
definido que mi pobre intento.


¿Cual es el nivel máximo de homotecia de los ritmos o las melodías de  
Bach? Muchísimo menos que todo esto, la verdad. Como mucho,  
llegaríamos a 5 o 6... Pero la mayor parte de los ejemplos de  
homotecia en la melodía o el ritmo que yo conozco no superarían el 1 o  
el 2.
La naturaleza fractal de la música es discutible. Los es, incluso, la  
naturaleza de todo aquello para cuya modelización, los fractales son  
útiles. Alguien ha generado melodías con un algoritmo fractal? Yo sí  
lo he hecho. Alguien ha aplicado un ruido browniano (espectro de  
amplitudes tales que 1/(f^2))?  o el proceso de Verhulst  
( y[i]=y[i-1]*(1-y[i-1])*lambda ) ? En realidad, no me gustan nada. Me  
parecen melodías triviales. Mucho menos interesantes que las imágenes  
resultantes de la aplicación gráfica de esos algoritmos.  Por eso, no  
creo que haya mucho parecido entre las melodías y los ritmos con los  
fractales, esos objetos matemáticos infinitos.

Veo mucha más relación entre algunos objetos reales modelizables con  
fractales y los sonidos en sí. Alguien ha comparado el espectro de un  
sonido con una montaña? Se parecen mucho. A alguien se le ha ocurrido  
interpretar los datos de elevación terrestre de una montaña como si  
fueran espectros de un sonido? A mí sí.

http://www.sonoscop.net/jmb/cantodepiedra/index.html

Al respecto de la última frase de la cita, me resulta difícil  
entenderla porque creo que el término "versus" (en Español, "contra" o  
e"n posición a") no está bien empleado....

>>  Do we appreciate when
>> music is more fractal, versus being a kind of latticework, infinite
>> pattern, or just a random potpourri of sounds strung together for no
>> purpose?

¿Apreciamos (o nos hacemos conscientes de ...) cuando la música es más  
fractal, en oposición a una especie de patron infinito entramado, o  
sólo un potpurri aleatorio de sonidos encadenados sin ningún propósito?"

La idea que saco de aquí vendría a querer preguntar si distinguimos en  
la música la estructura de la fractalidad o si cuando la música la  
tiene (si es que la tiene), nos parece un potpourri de sonidos  
encadenados sin ningún propósito...

Creo que cuando las melodías o los ritmos presentan homotecia, eso se  
escucha muy claramente. Tanto, que dejan de tener interés, porque se  
hace totalmente previsible el próximo paso. La música presenta, desde  
luego, estructura, pero la genialidad de algunas músicas reside en la  
forma en que la estructura se rompe y se hace añicos. Abraham Moles  
trabajó mucho acerca de este punto. Conviene reflexionar acerca de su  
texto Théorie de l'information et perception esthétique, Paris,  
Denoël, 1973 así como de  "les musiques expérimentales"

http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/hom_0439-4216_1961_num_1_1_366370

Para terminar, como hablamos de caos y ruidos y esas cosas, me permito  
contribuir a esta lista con una serie de objetos que en su momento  
escribí para maxmsp. Recogen algoritmos generadores de ruido de  
diversos investigadores, en particualr el Twister de Mersenne, un  
generador pseudoaleatorio con un ciclo de 2^19000 pasos. El código en  
C es accesible, de manera que muy fácilmente pueden ser compilados en  
pd o en max para windows....

Están en

http://www.sonoscop.net/jmb/max/index.html


gaussmt~.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C.  
XTools. generador de ruido gaussiano para maxmsp4.5 y 4.6, basado en  
el generador uniforme de números aleatorios Mersenne Twister. MacOSX

gaussm~.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador de ruido gaussiano para maxmsp4.5 y 4.6, basado en el  
generador uniforme de números aleatorios TT80. MacOSX

gaussr250~.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C.  
XTools. generador de ruido gaussiano , basado en el generador uniforme  
de números aleatorios r250. MacOSX

gauss~.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador de ruido gaussiano para maxmsp4.5 y 4.6, basado en el  
generador uniforme de números aleatorios de Marsaglia. MacOSX.

rojo~.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador de ruido rojo para maxmsp4.5 y 4.6, basado en el generador  
uniforme de números aleatorios de Marsaglia. MacOSX.

ruidist.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador de números aleatorios, ruido rojo, ruido 1/f^alpha y  
distribuciones aleatorias para maxmsp4.5 y 4.6, basado en el generador  
uniforme de números aleatorios Mersenne Twister. MacOSX.

ruidosc.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador de números aleatorios segú los generadores uniformes de  
números aleatorios de Marsaglia, TT80 y Mersenne Twister. MacOSX.

ruidos~.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador de números aleatorios segú los generadores uniformes de  
números aleatorios de Marsaglia, TT80 y Mersenne Twister. MacOSX.

varianza.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C.  
XTools. cálculo acumulado de la media, la desviación estándar y de la  
varianza de una secuencia de números. MacOSX

henon.zip objeto externo para maxmsp4.5 y 4.6 + código en C. XTools.  
generador del atractor de Henon en 2 dimensiones. MacOSX.

mt.tgz implementación en javascript para maxmsp del generador  
universal de números aleatorios mersenne twister.


un fuerte abrazo

José Manuel

El 10/03/2010, a las 4:52, Jose Ignacio Quevedo escribió:

> A este punto entonces sigo pensando que para los algoritmos  
> geneticos, los automatas y los fractales es bueno aplicar la  
> estocastica como arte final para parametrizar el resultado que se  
> queire obtener musicalmente hablando, partiendo de un caos acustico  
> y traduciendolo en estetica.
>
>
> Saludos!
> ________________________________________
> De: expyezp-bounces at lists.slow.tk [expyezp-bounces at lists.slow.tk] En  
> nombre de Juan I Reyes [juanig at Maginvent.ORG]
> Enviado el: martes, 09 de marzo de 2010 04:32 p.m.
> Para: expyezp-slow
> Asunto: [Expyezp] fractal self-similarities
>
> Este pensamiento me pareció relevante a varias de nuestras
> conversaciones:
>
>
>> The other thing that would be interesting is to explore the
>> intersection between fractal self-similarities and rhythm/melody. Is
>> music, and that which sounds musical "fractal" in nature, much like
>> when we see something and instantly identify "tree" or "mountain" or
>> "coastline" because of their fractal nature? Do we appreciate when
>> music is more fractal, versus being a kind of latticework, infinite
>> pattern, or just a random potpourri of sounds strung together for no
>> purpose?
>
>
> --* Juan
>
> _______________________________________________
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